Principal Component Analysis (PCA)

L'Analyse en Composantes Principales (PCA) est une méthode statistique qui vise à réduire la dimensionnalité d'un ensemble de données tout en préservant autant que possible la variance des données. Cette technique est particulièrement utile lorsqu'on travaille avec des ensembles de données à haute dimension, où il peut être difficile de visualiser et d'interpréter les relations entre les différentes variables. Le PCA transforme les données d'origine en un nouvel ensemble de variables, appelées composantes principales, qui sont des combinaisons linéaires des variables d'origine.

L'origine de la PCA remonte aux travaux de Karl Pearson dans les années 1900. Il a introduit cette méthode dans le but d'étudier les relations entre différentes variables et de simplifier les données tout en maintenant la structure sous-jacente. Le principe fondamental du PCA repose sur l'idée de projeter les données sur des axes qui maximisent la variance. En d'autres termes, les premières composantes principales capturent le plus d'information possible sur les données, tandis que les composantes suivantes capturent de moins en moins d'information.

Pour effectuer une PCA, on commence par standardiser les données, surtout si elles sont mesurées sur des échelles différentes. Ensuite, la matrice de covariance des données est calculée, ce qui permet de comprendre comment les différentes variables varient ensemble. À partir de là, les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice sont extraits. Les vecteurs propres représentent les directions des nouvelles axes (composantes principales), et les valeurs propres quantifient l'importance de chaque direction.

Le nombre de composantes principales à conserver est souvent déterminé en analysant l'inertie expliquée par chacune d'elles, ce qui aide à décider combien de dimensions sont réellement nécessaires pour représenter les données de manière efficace.