Markov Chains

Les chaînes de Markov sont un type de processus stochastique qui modélise une série d'événements dans lesquels la probabilité de chaque événement dépend uniquement de l'état précédent. En d'autres termes, elles se basent sur la propriété de Markov, qui stipule que l'avenir d'un système ne dépend que de son état présent et non de son passé. Ce concept a été nommé d'après le mathématicien russe Andrey Markov, qui a introduit ces idées au début du XXe siècle.

Une chaîne de Markov est définie par un ensemble d'états, un ensemble de transitions entre ces états et les probabilités associées à ces transitions. Par exemple, considérons un simple modèle météorologique où les états pourraient être 'ensoleillé', 'nuageux' et 'pluvieux'. Les transitions entre ces états seraient définies par des probabilités, comme la probabilité qu'il pleuve demain si aujourd'hui il fait soleil.

Les chaînes de Markov peuvent être classées en deux catégories : les chaînes de Markov discrètes, où les états sont discrets et le temps est également discret, et les chaînes de Markov continues, où les états et le temps peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné. Les chaînes de Markov sont largement utilisées dans divers domaines, allant de la finance à la biologie, en passant par l'intelligence artificielle et l'analyse des données.

Un aspect fondamental des chaînes de Markov est leur matrice de transition, qui contient les probabilités de passer d'un état à un autre. Cette matrice est essentielle pour analyser le comportement à long terme de la chaîne, y compris la possibilité d'atteindre un état d'équilibre ou stationnaire. En résumé, les chaînes de Markov représentent un outil puissant pour modéliser des systèmes complexes où l'incertitude et le hasard jouent un rôle crucial.